Um pesquisador em didática ξ examina quais gestos δ são mantidos, por quais instâncias ŵ, a respeito de quais núcleos cognitivos ñ sob qual conjunto de condições C, para ser didático (ou antididático, ou isodidático), e quais mudanças esses gestos geram em C— incluindo processos de aprendizagem e desaprendizagem. O veredicto pronunciado pela instância ŵ é baseado em sua relação com ς, ou seja, R (ŵ, ς), que depende das relações R(ŵ, o), R(ŵ, î), R(ŵ, R (î, o)), R(ŵ,(I,p)), R(ŵ, v̂ ), R(ŵ, R (v̂ , (I, p))), R(ŵ, û), R(ŵ, δ), R(ŵ, C), etc. De onde vêm essas relações? Do que eles nascem? Qual é a sua gênese? Estas são as questões-chave, que podem ser respondidas graças à noção de praxeologia. A TAD contém uma teoria da ação humana cujo ponto de partida é a noção de um tipo de tarefa T (e a noção de tarefa t do tipo T, que é denotada por t ∈ T). Como costuma acontecer na TAD, não há critérios de “magnitude”: “coçar a orelha”, “calcular a diferença de dois inteiros”, “escrever um romance”, “ler um artigo de jornal”, “casar”, são todos igualmente tipos de tarefas. A realização da tarefa t ∈ T requer o uso de uma técnica τ_T relativa a T. Isso se aplica a todas as ações: caminhar, cantar, comer requerem técnicas aprendidas. Ao contrário, imitar uma pessoa “desnaturaliza” seu comportamento. O par ordenado formado por um tipo de tarefa T e uma técnica τ relativa a T é denotado por [T / τ] e é chamado de bloco de práxis (ou “know-how”). Qualquer técnica requer um comentário explicativo ou de apoio, denominado sua tecnologia, denotado pela letra θ. A própria tecnologia θ está acoplada a um discurso justificador de nível superior, que é a teoria, denotada pela letra maiúscula ϴ, da técnica τ. O par ordenado formado pela tecnologia θ e a teoria ϴ é denotado por [θ / ϴ]: é o bloco de logos (ou “saber”). Qualquer bloco de práxis [T / τ] supõe um bloco de logos [θ / ϴ] com o qual forma uma praxeologia p = [T / τ / θ / ϴ]. Vamos definir Π = [T / τ] e Λ = [θ / ϴ], podemos escrever: p = [T / τ / θ / ϴ] = [T / τ] ⊕ [θ / ϴ] = Π ⊕ Λ. Em uma instituição I, os blocos Π e Λ de uma praxeologia p = Π ⊕ Λ oriunda de uma instituição I₀ são geralmente modificados pelo fenômeno de transposição institucional de praxeologias (ou obras), que podemos escrever assim: Φ: p = Π ⊕ Λ ↦ p* = Π* ⊕ Λ*. Se δ é um gesto transpositivo e ς = (ñ, û, δ, C) é ŵ-didática, vamos falar de transposição ŵ-didática. Todos os itens acima se aplicam a qualquer ação. Se, portanto, ŵ julga ς antididático, esse julgamento resulta de uma praxeologia que permite ŵ fazer um julgamento a partir de suas relações com os diversos objetos relevantes o. De onde vêm essas relações? Definimos o universo praxeológico de î por Ω^✦(î) ≝ {p / R (î, p) ≠ ∅} e o equipamento praxeológico de î por Γ^✦(î) ≝ {(p, R (î, p)) / p ∈Ω^✦(î)}. Observe que temos Ω^✦(î) ⊂ Ω (î), onde Ω (î) = {o / R (î, o) ≠ ∅} é o universo cognitivo de î, e Γ^✦(î) ⊂ Γ (î ), onde Γ (î) = {(o, R (î, o)) / o ∈ Ω (î)} é o equipamento cognitivo de î. Posicionamos então que, na direção inversa, Γ^✦(î) gera Γ (î) no seguinte sentido: qualquer que seja o objeto o, a relação R (î, o) resulta de todas as relações R (î, p), onde p ∈ Ω^✦(î), envolve o objeto o, seja tecnicamente, tecnologicamente ou teoricamente. Isto acima se aplica a qualquer objeto o. Assim, a relação R (x, x′) da pessoa x para uma pessoa x′, por exemplo, para sua própria mãe (x′ ≠ x), ou para si mesmo (x′ = x), surge de todas as praxeologias para as quais x tem uma relação não vazia e que envolve x′. A mesma observação se aplica às instâncias institucionais î e î′.

Texto Original

Praxeologies and praxeological analysis. A researcher in didactics ξ examines which gestures δ are held, by which instances ŵ, concerning which cognitive nuclei ñ under which set of conditions , to be didactic (or antididactic, or isodidactic), and what changes do these gestures generate in —including learning and unlearning processes. The verdict pronounced by the instance ŵ is based on their relation to ς, i.e., R(ŵ, ς), which depends on the relations R(ŵ, o), R(ŵ, î), R(ŵ, R(î, o)), R(ŵ, (I, p)), R(ŵ, v̂), R(ŵ, R(v̂, (I, p))), R(ŵ, û), R(ŵ, δ), R(ŵ, ), etc. Where do these relations come from? What are they born of? What is their genesis? These are the key questions, which can be answered thanks to the notion of praxeology. The ATD contains a theory of human action whose starting point is the notion of a type of tasks T (and the notion of task t of type T, which is denoted by t ∈ T). As is often the case in the ATD, there are no “size” criteria: “scratching your ear”, “calculating the difference of two integers”, “writing a novel”, “reading a newspaper article”, “getting married”, are all equally types of tasks. The realization of task t ∈ T requires the use of a technique τ_T relating to T. This applies to all actions: walking, singing, eating require learned techniques. In reverse, imitating a person “denaturalizes” his or her behaviour. The ordered pair made up of a type of task T and a technique τ relating to T is denoted by [T / τ] and is called the praxis block (or “know-how”). Any technique requires an explanatory or supporting comment, called its technology, denoted by the letter θ. The technology θ is itself coupled with a justifying discourse at a higher level, which is the theory, denoted by the capital letter ϴ, of the technique τ. The ordered pair made up of the technology θ and the theory ϴ is denoted by [θ / ϴ]: it is the logos block (or “knowledge”). Any praxis block [T / τ] supposes a logos block [θ / ϴ] with which it forms a praxeology =[T / τ / θ / ϴ]. Let us set Π = [T / τ] and Λ = [θ / ϴ], we can write: = [T / τ / θ / ϴ] = [T / τ] ⊕ [θ / ϴ] = Π ⊕ Λ. In an institution I, the blocks Π and Λ of a praxeology = Π ⊕ Λ coming from an institution I₀ are generally modified by the phenomenon of institutional transposition of praxeologies (or works), which we can write thus: Φ :  = Π ⊕ Λ ↦ * = Π* ⊕ Λ*. If δ is a transpositive gesture and ς = (ñ, û, δ, ) is ŵ-didactic, we’ll speak of ŵ-didactic transposition. All of the above applies to any action. If, thus, ŵ judges ς antididactic, this judgment results from a praxeology that allows ŵ to make a judgment based on their relations to the many relevant objects o. Where do these relations come from? We define the praxeological universe of î by Ω^✦(î) ≝ { / R(î, ) ¹ ∅} and î’s praxeological equipment by G^✦(î) ≝ {(, R(î, )) / ∈ W^✦(î)}. Note that we have Ω^✦(î) ⊂ Ω(î), where Ω(î) = {o / R(î, o) ¹ ∅} is the cognitive universe of î, and G^✦(î) ⊂ G(î), where G(î) = {(o, R(î, o)) / o ∈ W(î)} is the cognitive equipment of î. We then posit that, in the reverse direction, G^✦(î) generates G(î) in the following sense: whatever the object o, the relation R(î, o) results from all the relations R(î, ), where ∈ W^✦(î), involves the object o, whether technically, technologically or theoretically. The above applies to any object o. Thus the relation R(x, x′) of person x to a person x′, for example to their own mother (x′ ≠ x), or to themself (x′ = x), arises from all the praxeologies to which x has a non-empty relation and which involve x′. The same remark applies to institutional instances î and î′.

Referências

BOSCH, M.; CHEVALLARD, Y. A short (and somewhat subjective) glossary of the ATD. In: BOSCH, M.; CHEVALLARD, Y.; GARCÍA, F. J.; MONAGHAN, J. (Org.).  Working whith the Anthropological Theory of the Didatic in Mathematics Eduction: a comprehensive casebook. London and New York. Routledge: Taylor & Francis Group, p. 19-38, 2020.